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微积分案例教学策略探讨

摘要:高等数学是高等职业教育必修的基础课,其理论基础和思想方法不仅为专业课学习提供基础,还是技能发展的支撑工具。高等数学在高素质技能型人才的培养方面占据非常重要的地位。微积分教学作为高等数学教学中的重要模块,其教学成效重要性不言而喻。本文对微积分的教学进行研究,探讨微积分的案例教学如何实现。

关键词:教学成效;微分学;积分学;案例教学

高职院校以培养高素质技术型人才为主要方向的高等教育目的,其在课程设置需要依照高等职业院校学生的特点和专业需要。高等数学的教学展开情况直接影响了技术型人才的技能素养和终身发展的需求。

一、发展简史

微积分的发展体现着人类认识是感性认识到理性认识的过程。早期萌芽时期始于公元前七世纪上半页,表现为对图形的长度,面积和体积的研究,比如穷竭法,割圆术等都体现了微积分思维的雏形。发展成型于十七世纪,此时科学的理论研究着力于速率、极值、切线等问题,特别是描述运动与变化的无限小算法等,后来,牛顿和莱布尼茨各自独立地提出微积分系统的理论,使得微积分成为一门数学学科。自此以后,连续性、导数、无穷小以及函数收敛等得到一系列数学家的继续深化研究和改善,微积分建立在牢固的理论基础上。初等数学无法解决的问题随着微积分理论迎刃而解,显示出微积分学的非凡魅力。

二、教学案例的设计

微积分的发展史也体现了人类在数学方面的认知发展过程,微积分的教学成为高职教育中非常重要的一环。在微积分的讲解过程当中,着力于高职教育的教育目的以及高职类学生的基础特色,着重从实际案例引入微积分的教学。(一)极限思维培养。在微积分的讲解过程当中,极限思维的培养是非常重要的。具有极限的思维能很好地理解函数的连续、可导,积分等微概念。案例:在课堂探讨无限循环小数0.9与1的大小关系。证明方式:x=0.9令,10x=9.9则有,联立方程组求解有:10x=9.9x=0.9,解得x=1。在进一步基础上,引入初等数学问题讨论“任意的无限循环小数都可化成分数”的实现。另外可以适当根据学生的基础情况,通过圆周率的确定,扇形面积公式等来进一步讲解极限思维的应用场景,实现与初等数学的衔接和极限思想的进一步培养。(二)函数以及函数的连续性。函数体现的是实数变量之间的对应关系,可引入速度、时间和路程这些量之间的关系,系统解释一元连续函数,如图1。在连续函数的基础上,可以进一步作离散的函数图2,以作连续和离散函数的对比。图1图2(三)函数的可导。在函数连续的基础上,导数定量研究函数的连续性,在实际讲解过程中继续对图1所示函数进行分析:以y表示直线运动的路程,x表示运行时间,其中y=2xx-6x-80≤x≤10。按照图3所示,逐点x0<x<10考虑dydx或者∆y∆x∆x→0,则得到瞬时速度函数y'=dydx=2x-6x-8+2xx-6+2x-80<x<10,则y'对应物体运动瞬时速度函数,比如在路程y函数上点x0,y0处有对应瞬时速度函数y'上有点x0,y0',代表x0在时刻,有速度值y0'。另外根据需要和学生情况,在端点处x=0和x=10处探讨单侧可导性。图3图4通过此案例的介绍,其实导数衡量的变量的改变趋势,包括改变的方向以及改变的快慢,是一种定量研究函数连续性的方法。(四)函数的可微。微分主要衡量自变量的改变对应引起的因变量的改变大小,本质上是导数的变形。在此图中,s∆=y0'∆x-∆y,∆y为图3中对应的因变量的改变量,在极限状态∆x→0下s∆为零,故有∆y→y0‘∆x∆x→0,亦可记为dy=y0‘dx。此种推导过程到整个区间,则有任意点x0<x<10处都有dy=y’dx。从实际案例理解起来,就是微小时间的dx内,路程改变量dy=y’dx,即等于瞬时速度乘以时间。图5(五)不定积分。从数学的角度来说,不定积分属于微积分领域积分学的范畴,其实属于导数的逆运算。在从微分学跨越到积分学的过程当中,从离散状态的求和符号xi讲起,然后强调积分符号fxdx本质上是一种连续状态下的求和,把连续的微小量fxdx累加起来。通过不定积分的y'dx求解,可以得到——系列的路程——时间函数,这些函数的图象保持如图6所示的特点。路程——时间函数呈现图6的特点,得到多条趋势一致的曲线(即路程——时间函数不唯一),这是由于速度只是决定了路程的变化趋势,但是物体运动的初始位置没有限定,故由速度反向确定路程——时间,得到的结果不唯一。(六)定积分及其不定积分的关系。定积分问题本质上属于微分的逆运算,也是连续状态下的求和问题。如果以时间、速度和路程三者的关系为例子图6和图7充分反映了定积分以及不定积分的关系。y2-y1=s1-s2+s3=x1x2y'dx,其本质反映了在时间段x1,x2上按照速度y'运动的物体路程的累计改变量,其结果跟图6中所示的路程——时间函数具体选取哪个函数没有关系。在具体的教学过程当中,通过路程、时间和速度三者的之间的关系讲解,最后延伸到身边的数学当中去,比如可以借助经济增长模型、传染病控制相关知识、法医鉴定人体死亡时间等相关知识来探讨微积分相关知识。

通过案例的引入,加深学生对微积分的理解,最后再从具体的案例当中抽象出来,从数学层面纯粹探讨微积分并进行讲解。本文通过时间、路程和速度三者的关系进行实例剖析,通过实例介绍,介绍微积分从连续、可导、可微、定积分和不定积分这些概念的内在联系,为微积分的案例教学提供一定的参考。案例讲解过程中忽略理论推导而注重直观感受,比较符合高职教育的实际情况和需要。

【参考文献】

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作者:蒋芬 单位:广州华夏职业学院

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